台形法と中点法 - 手帳と試行

数値積分法の基本である台形法と中点法を取り上げる。

数値積分法

ある関数 $f(x)$ の定積分を数値計算によって求めることを考える。このとき、素朴には積分範囲 $[a, b]$ に対してN個の入力点 $\{x_i\}_{i=0}^N$ を与え、それぞれに対して曲線 $y=f(x_i)$ と直線 $y=0$ に挟まれた箇所の微小面積 $dF(x_i)$ を計算し、それらを足し合わせるような方法が考えられる。

\begin{aligned} \int_a^b f(x) dx = \sum_{i=1}^N dF(x_i) \end{aligned}

このような考察に基づく数値計算方法を数値積分と呼ぶ。ここでは、特にシンプルなものである台形積分法と中点積分法を導入する。

台形積分法

台形積分法では、まず入力点を $N$ 個与える。ただし、それらの集合 $\{x_i\}_{i=0}^N$ は順番に並んでいるものと仮定する。

\begin{aligned} \underbrace{x_0 \lt x_1 \lt \dots \lt x_N}_{N \text{ inputs}} \end{aligned}

そして $x_i$ と $x_{i+1}$ に対して、関数の出力値 $f(x_i), f(x_{i+1})$ をそれぞれ上側底辺、下側底辺の長さとし、入力値の差分x_{i+1} - x_{i}を高さとするような台形を考える。その台形の面積を微小面積dF_iとする。

\begin{aligned} dF_i \coloneqq \frac{1}{2} \underbrace{(f(x_i) + f(x_{i+1}))}_{\text{上底 + 下底}} \underbrace{(x_{i+1} - x_i)}_{\text{高さ}} \end{aligned}

これを $i=0, 1, \dots, N-1$ に対して足し合わせることで定積分を計算する。

\begin{aligned} \int_a^b f(x) dx \simeq \sum_{i=0}^{N-1} \frac{f(x_i) + f(x_{i+1})}{2} (x_{i+1} - x_i) \end{aligned}

特に積分区間 $[a, b]$ を $N$ 等分する場合、各 $x_i$ は

\begin{aligned} x_0 &= a \\ x_1 &= a + \frac{1}{N}(b-a) \\ x_2 &= a + \frac{2}{N}(b-a) \\ &\quad \vdots \\ x_i &= a + \frac{i}{N}(b-a) \\ \end{aligned}

および

\begin{aligned} x_{i+1} - x_i = \frac{b-a}{N} \end{aligned}

と書けるから、次のように積分できる。

\begin{aligned} \int_a^b f(x) dx \simeq \sum_{i=0}^{N-1} \frac{f(x_i) + f(x_{i+1})}{2} dx \end{aligned}

\begin{aligned} &\text{where}& x_i &= a + idx \\ && dx &= \frac{b-a}{N} \end{aligned}

アルゴリズムは次の通り。

Algorithm 2: Trapezoidal integrals.
$\begin{darray}{rl} 1. & dx \gets \dfrac{b-a}{N} \\ 2. & x_0 \gets a \\ 3. & f_0 \gets f(x_0) \\ 4. & F_0 \gets 0 \\ 5. & \text{for } i \in \{0, 1, 2, \dots, N-1\} \text{ do}: \\ 6. & \quad x_{i+1} \gets x_i + dx \\ 7. & \quad f_{i+1} \gets f(x_{i+1}) \\ 8. & \quad F_{i+1} \gets F_i + \dfrac{f_i + f_{i+1}}{2} \\ 9. & \text{return } F_N \times dx \end{darray}$

中点積分法

中点積分法では2点 $x_i, x_{i+1}$ の中点における関数値 $f\left(\dfrac{x_i + x_{i+1}}{2}\right)$ を幅、入力値の差分 $x_{i+1} - x_{i}$ を高さとするような長方形を考え、その面積を微小面積 $dF_i$ とする。

\begin{aligned} dF_i \coloneqq f\left(\dfrac{x_i + x_{i+1}}{2}\right) (x_{i+1} - x_i) \end{aligned}

そしてこれを $i=0, 1, \dots, N-1$ に対して足し合わせることで積分を近似計算する。

\begin{aligned} \int_a^b f(x) dx \simeq \sum_{i=0}^{N-1} f\left(\dfrac{x_i + x_{i+1}}{2}\right) (x_{i+1} - x_i) \end{aligned}

台形法の場合と同様に、積分区間 $[a, b]$ を $N$ 等分する場合には、以下のような書き換えが可能である。

\begin{aligned} \int_a^b f(x) dx \simeq \sum_{i=0}^{N-1} f\left(\dfrac{x_i + x_{i+1}}{2}\right) dx \end{aligned}

\begin{aligned} &\text{where}& x_i &= a + idx \\ && dx &= \frac{b-a}{N} \end{aligned}

アルゴリズムは次の通り。

Algorithm 2: Midpoint integrals.
$\begin{darray}{rl} 1. & dx \gets \dfrac{b-a}{N} \\ 2. & x_0 \gets a + \dfrac{1}{2} dx \\ 3. & f_0 \gets f(x_0) \\ 4. & F_0 \gets 0 \\ 5. & \text{for } i \in \{0, 1, 2, \dots, N-1\} \text{ do: } \\ 6. & \quad x_{i+1} \gets x_i + dx \\ 7. & \quad f_{i+1} \gets f(x_{i}) \\ 8. & \quad F_{i+1} \gets F_i + \dfrac{f_i}{2} \\ 9. & \text{return } F_N \times dx \\ \end{darray}$

数式の比較

台形積分法と中点積分法を並べて書いてみる。

\begin{aligned} & \text{Trapezoidal} & \int_a^b f(x) dx &\simeq \sum_{i=0}^{N-1} \frac{f(x_{i}) + f(x_{i+1})}{2} dx \\ & \text{Midpoint} & \int_a^b f(x) dx &\simeq \sum_{i=0}^{N-1} f\left(\dfrac{x_{i} + x_{i+1}}{2}\right) dx \end{aligned}

\begin{aligned} &\text{where}& x_i &= a + idx \\ && dx &= \frac{b-a}{N} \end{aligned}

こうしてみると、両者はいずれも相加平均を用いているものの、それをどのタイミングでとるかという点で違いが現れている。

どちらを使うにせよ、それなりに $N$ を大きくしないと使い物にならないので注意しよう。