手帳と試行

学んだことをアウトプットしていきます。 日々、ノートあるのみ。
2023-03-31
量子情報科学

多量子ビット系

2個以上の量子ビット系の合成系である多量子ビット系を導入する。

目次
2-量子ビット系 2-量子ビット系の積状態 2-量子ビット系のエンタングル状態 測定 2-量子ビット系の一部に対する測定 1ビット目に対して 2ビット目に対して 多量子ビット系

2-量子ビット系

2つの量子ビット系の合成系を22-量子ビット系 (2-qubit system) という。22-量子ビット系の状態は C4\mathbb C^4 上の単位ベクトル ∣ψ⟩∈C4,∥ψ∥22=1|\psi\rang \in \mathbb C^4, \|\psi\|_2^2=1 として表される。

2-量子ビット系の状態 ∣ψ⟩∈C4|\psi\rang \in \mathbb C^4 は、一般に C2\mathbb C^2 上の計算基底 {∣0⟩,∣1⟩}\{ |0\rang,|1\rang\} を用いて

∣ψ⟩=∑i1,i2∈{0,1}xi1i2∣i1i2⟩=x00∣00⟩+x01∣01⟩+x10∣10⟩+x11∣11⟩\begin{aligned} |\psi\rang ={}& \sum_{i_1, i_2 \in \{0, 1\}} x_{i_1i_2} |i_1i_2\rang \\ ={}& x_{00}|00\rang + x_{01}|01\rang + x_{10}|10\rang + x_{11}|11\rang \end{aligned}

と表すことができる。ただし

x00,x01,x10,x11∈C,∣x00∣2+∣x01∣2+∣x10∣2+∣x11∣2=1x_{00}, x_{01}, x_{10}, x_{11} \in \mathbb C, \\ |x_{00}|^2 + |x_{01}|^2 + |x_{10}|^2 + |x_{11}|^2= 1

であり、また

∣00⟩=[1000],∣01⟩=[0100],∣10⟩=[0010],∣11⟩=[0001]\begin{aligned} |00\rang ={}& \left[\begin{darray}{cc}1\\0\\0\\0\end{darray}\right], & |01\rang ={}& \left[\begin{darray}{cc}0\\1\\0\\0\end{darray}\right], & |10\rang ={}& \left[\begin{darray}{cc}0\\0\\1\\0\end{darray}\right], & |11\rang ={}& \left[\begin{darray}{cc}0\\0\\0\\1\end{darray}\right] \end{aligned}

であることに注意しよう。

2-量子ビット系の積状態

まず、次のような状態を考えよう。

∣ψ⟩=12[1100]\begin{aligned} | \psi \rang = \sqrt\frac{1}{2} \left[\begin{darray}{cc} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{darray}\right] \end{aligned}

これは、11-量子ビット系の2つの状態 ∣ψ1⟩=12[11]|\psi_1\rang = \sqrt\dfrac{1}{2} \left[\begin{darray}{cc} 1 \\ 1 \end{darray}\right] と ∣ψ2⟩=[10]|\psi_2\rang = \left[\begin{darray}{cc} 1 \\ 0 \end{darray}\right] のクロネッカー積の形で書くことができる。

∣ψ⟩=∣ψ1⟩⊗∣ψ2⟩|\psi\rang = |\psi_1\rang \otimes |\psi_2\rang

より正確にはテンソル積の形だが、ここではクロネッカー積として表した。

このように、2つの量子ビット系の状態 ∣ψ1⟩,∣ψ2⟩∈C2|\psi_1 \rang, | \psi_2 \rang \in \mathbb C^2 のテンソル積の形で書けるような22-量子ビット系の状態 ∣ψ⟩∈C4|\psi\rang \in \mathbb C^4 を積状態という。

以降、積状態にある2-量子ビット系の状態を

∣ψ1ψ2⟩=∣ψ1⟩⊗∣ψ2⟩|\psi_1\psi_2\rang = |\psi_1\rang \otimes |\psi_2\rang

などと表すことにする。

2-量子ビット系のエンタングル状態

続いて、次の状態を考えよう。

∣ψ⟩=12[1001]\begin{aligned} | \psi \rang = \sqrt\frac{1}{2} \left[\begin{darray}{cc} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{darray}\right] \end{aligned}

この状態は、どのような ∣ψ1⟩∈C2|\psi_1\rang \in \mathbb C^2 と ∣ψ2⟩∈C2|\psi_2\rang \in \mathbb C^2 を用いても ∣ψ⟩=∣ψ1ψ2⟩|\psi\rang = |\psi_1\psi_2\rang と書くことはできない。このような状態をエンタングル状態という。

エンタングル状態にある量子ビットは、積状態にある複数の2-量子ビット系の状態の、重ね合わせ状態であると考えることができる。

測定

2-量子ビット系における測定は C4\mathbb C^4 上の正規直交基底 {∣ϕk⟩}k∈{1,2,3,4}\{ | \phi_k \rang \}_{k\in\{1,2,3,4\}} で表される。状態 ∣ψ⟩|\psi\rang に対して、この正規直交基底による測定を行なったとき、測定値 kk を得る確率は

∣⟨ϕk∣ψ⟩∣2\begin{aligned} | \lang\phi_k|\psi\rang |^2 \end{aligned}

である。絶対値の中の ⟨ϕi∣ψ⟩\lang\phi_i|\psi\rang を確率振幅という。

特に、

∣ψ⟩=∑i1,i2∈{0,1}xi1i2∣i1i2⟩=x00∣00⟩+x01∣01⟩+x10∣10⟩+x11∣11⟩\begin{aligned} |\psi\rang ={}& \sum_{i_1, i_2 \in \{0, 1\}} x_{i_1i_2} |i_1i_2\rang \\ ={}& x_{00}|00\rang + x_{01}|01\rang + x_{10}|10\rang + x_{11}|11\rang \end{aligned}

という状態に対して計算基底 {∣00⟩,∣01⟩,∣10⟩,∣11⟩}\{ |00\rang, |01\rang, |10\rang, |11\rang \} による測定を行なった場合、測定値 k1k2k_1k_2 を得る確率は

∣⟨k1k2∣ψ⟩∣2=∣⟨k1k2∣(∑i1,i2∈{0,1}xi1i2∣i1i2⟩)∣2=∣xk1k2⟨k1k2∣k1k2⟩∣2=∣xk1k2∣2\begin{aligned} | \lang k_1 k_2 | \psi \rang|^2 ={}& \left| \lang k_1k_2 | \left( \sum_{i_1,i_2\in\{0,1\}} x_{i_1i_2} | i_1i_2 \rang \right) \right|^2 \\ ={}& |x_{k_1k_2} \lang k_1k_2 | k_1k_2 \rang|^2 \\ ={}& |x_{k_1k_2}|^2 \end{aligned}

である。このとき、測定前の状態がいかなる状態であったとしても、状態は

∣ψ⟩↦∣k1k2⟩\begin{aligned} |\psi\rang \mapsto |k_1k_2\rang \end{aligned}

と変化する。

2-量子ビット系の一部に対する測定

さらに、2つの量子ビット系のうちの、一方の量子ビット系の状態のみを測定するような操作も考えることができる。

1ビット目に対して

たとえば

∣ψ⟩=∑i1,i2∈{0,1}xi1i2∣i1i2⟩\begin{aligned} |\psi\rang = \sum_{i_1, i_2 \in \{0, 1\}} x_{i_1i_2} |i_1i_2\rang \end{aligned}

という状態にある22-量子ビット系の、1つ目の量子ビットに対して、C2\mathbb C^2 上の計算基底 {∣0⟩,∣1⟩}\{ |0\rang, |1\rang \} による測定を行なう場合、測定値 k1k_1 を得る確率は

∑k2∈{0,1}∣⟨k1k2∣ψ⟩∣2=∑k2∈{0,1}∣⟨k1k2∣(∑i1,i2∈{0,1}xi1i2∣i1i2⟩)∣2=∑k2∈{0,1}∣xk1k2⟨k1k2∣k1k2⟩∣2=∑k2∈{0,1}∣xk1k2∣2\begin{aligned} \sum_{k_2\in\{0,1\}} | \lang k_1 k_2 | \psi \rang|^2 ={}& \sum_{k_2\in\{0,1\}} \left| \lang k_1k_2 | \left( \sum_{i_1,i_2\in\{0,1\}} x_{i_1i_2} | i_1i_2 \rang \right) \right|^2 \\ ={}& \sum_{k_2\in\{0,1\}} |x_{k_1k_2} \lang k_1k_2 | k_1k_2 \rang|^2 \\ ={}& \sum_{k_2\in\{0,1\}} |x_{k_1k_2}|^2 \end{aligned}

で与えられる。このとき、測定前の状態がいかなる状態であったとしても、状態は

∣ψ⟩↦1Z∑k2∈{0,1}xk1k2∣k1k2⟩=1Z(xk10∣k10⟩+xk11∣k11⟩)\begin{aligned} |\psi\rang \mapsto{}& \frac{1}{Z} \sum_{k_2\in\{0,1\}} x_{k_1k_2} |k_1k_2\rang \\ ={}& \frac{1}{Z} (x_{k_10}|k_10\rang + x_{k_11}|k_11\rang) \end{aligned}

と変化する。ただし ZZ は Z=∥∑k2∈{0,1}xk1k2∣k1k2⟩∥2=∑k2∈{0,1}xk1k22\displaystyle Z = \left\|\sum_{k_2\in\{0,1\}} x_{k_1k_2} |k_1k_2\rang\right\|_2 = \sqrt{\sum_{k_2\in\{0,1\}}x_{k_1k_2}^2} なる規格化定数である。

2ビット目に対して

同様に、2つ目の量子ビットに対して測定を行なうとき、測定値 k2k_2 を得る確率は

∑k1∈{0,1}∣⟨k1k2∣ψ⟩∣2=∑k1∈{0,1}∣xk1k2∣2\begin{aligned} \sum_{k_1\in\{0,1\}} | \lang k_1 k_2 | \psi \rang|^2 ={}& \sum_{k_1\in\{0,1\}} |x_{k_1k_2}|^2 \end{aligned}

で与えられ、測定後の状態は

∣ψ⟩↦1Z∑k1∈{0,1}xk1k2∣k1k2⟩\begin{aligned} |\psi\rang \mapsto{}& \frac{1}{Z} \sum_{k_1\in\{0,1\}} x_{k_1k_2} |k_1k_2\rang \\ \end{aligned}

と変化する。

多量子ビット系

以上の22-量子ビット系と同様の考え方により、nn個の量子ビットの合成系であるnn-量子ビット系 (nn-qubit system) あるいは多量子ビット系 (multi-qubit system) を考えることができる。nn-量子ビット系の状態は

∣ψ⟩=∑i1,i2,…,in∈{0,1}xi1i2…in∣i1i2…in⟩=∑i∈{0,1}nxi∣i⟩\begin{aligned} |\psi\rang ={}& \sum_{i_1, i_2, \dots, i_n \in \{0, 1\}} x_{i_1i_2 \dots i_n} |i_1i_2 \dots i_n\rang \\ ={}& \sum_{\bm i \in \{0, 1\}^n} x_{\bm i} | \bm i \rang \end{aligned}

により表される。

量子情報科学