量子ビット系の時間発展

量子ビット系の時間発展を導入する。

ユニタリ発展射影測定による発展よく使われるユニタリ行列パウリ行列アダマール行列ブロッホ球上の回転

ユニタリ発展

量子ビット系では、次のような時間発展が許される。

状態 $| \psi \rangle \in \mathbb C^2$ を初期の量子状態、状態 $| \psi \rang' \in \mathbb C^2$ を終期の量子状態とするとき、ユニタリ行列 $\bm U \in \mathbb C^{2 \times 2} ~(\bm U \bm U^\dag = \bm I_2)$ が存在して、次式を満たす。

\begin{aligned} | \psi \rang' \coloneqq{}& | \bm U \psi \rang \\ ={}& \bm U | \psi \rang \end{aligned}

この $| \psi \rangle \mapsto | \bm U \psi \rangle$ という時間発展をユニタリ発展 (unitary evolution) と呼ぶ。

特に $|\psi\rang \in \mathbb C^2$ が単位ベクトルである、すなわち $\|\psi\|_2^2 = 1$ であるならば、次のように $\| \psi' \|_2^2 = 1$ となる。

\begin{aligned} \|\psi\|_2^2 ={}& \lang\psi' | \psi'\rang \\ ={}& \lang\bm U\psi | \bm U \psi\rang \\ ={}& \lang\psi| \bm U^\dag \bm U |\psi\rang \\ ={}& \lang\psi|\bm I_2|\psi\rang \\ ={}& \lang\psi|\psi\rang \\ ={}& \|\psi\|_2^2 \\ ={}& 1 \end{aligned}

射影測定による発展

量子状態を測定すると、ユニタリ発展とはまったく異なる、確率的な変化が生じる。

もっとも典型的なものは射影測定による発展で、次のような状態の変化が生じる。

量子状態 $|\psi\rang$ にある量子ビット系に対して基底 $\{|\phi_0\rang, |\phi_1\rang\}$ による観測を行なって測定値 $i \in \{0, 1\}$ を得たとする。このとき、測定前の状態がいかなる状態であったとしても、測定後の状態は $|\phi_i\rang$ に変化する。

|\psi\rang \mapsto |\phi_i\rang

よく、「測定が量子状態を変化させるという現象は、温度計が対象の温度を変化させてしまうだとか、浸透圧測定機器が浸透圧を変化させてしまうとか、そういった測定機器の性能に由来するものと同じようなもの」という説明がなされることがあるが、この言い方には語弊がある。「測定」という操作を行なうからには、測定機器と対象が必ず何らかの形で相互作用する。逆に言えば、もしも測定機器と対象が相互作用しないならば、それはもはや測定ではない。そして、この相互作用がどのようなものであれ、それは量子状態を変化させてしまう。つまり測定による量子状態の変化は、理論上根本的に避けられないのである。