手帳と試行

学んだことをアウトプットしていきます。 日々、ノートあるのみ。
2023-03-10
量子情報科学

量子ビット系

最もシンプルな量子力学系である量子ビット系を概説する。

目次
量子ビット系 量子ビット系の状態 量子ビット系の計算基底 量子ビット系の測定 重ね合わせの原理

量子ビット系

一度の測定で識別可能な状態の個数が最大2個であるような量子力学系を量子ビット系 (qubit system) あるいは量子ビット (qubit) という。

量子ビット系の状態

量子ビット系の状態 (state) は C2\mathbb C^2 の単位ベクトル ∣ψ⟩| \psi \rangle で表す。

∣ψ⟩∈C2where∥ψ∥2=1\begin{aligned} && | \psi \rangle &\in \mathbb C^2 \\ &\text{where}& \| \psi \|_2 &= 1 \end{aligned}

特に古典ビットにおける 0,10, 1 に対応する状態は、それぞれ次のように表される。

∣0⟩=[10]∣1⟩=[01]\begin{aligned} | 0 \rangle &= \left[\begin{darray}{} 1 \\ 0 \end{darray}\right] \\ | 1 \rangle &= \left[\begin{darray}{} 0 \\ 1 \end{darray}\right] \end{aligned}

量子ビット系の計算基底

計算基底 (computational basis) は C2\mathbb C^2 の正規直交基底 {∣ϕ0⟩,∣ϕ1⟩}\{ | \phi_{0} \rangle, | \phi_{1} \rangle \} で表す。

∣ϕ0⟩∈C2∣ϕ1⟩∈C2where⟨ϕ0∣ϕ1⟩=0\begin{aligned} && | \phi_{0} \rangle &\in \mathbb C^2 \\ && | \phi_{1} \rangle &\in \mathbb C^2 \\ &\text{where}& \langle \phi_0 | \phi_1 \rangle &= 0 \end{aligned}

量子ビット系の測定

状態 ∣ψ⟩| \psi \rangle に対して計算基底 {∣ϕ0⟩,∣ϕ1⟩}\{| \phi_0 \rangle, | \phi_1 \rangle\} による測定を行なったとき、測定値 0,10, 1 の得られる確率はそれぞれ ∣⟨ϕ0∣ψ⟩∣2,∣⟨ϕ1∣ψ⟩∣2|\langle \phi_0 | \psi \rangle|^2, |\langle \phi_1 | \psi \rangle|^2 で与えられる。

∣⟨ϕ0∣ψ⟩∣2の確率で0∣⟨ϕ1∣ψ⟩∣2の確率で1\begin{aligned} & |\langle \phi_0 | \psi \rangle|^2 &&\text{\small の確率で} && 0 \\ & |\langle \phi_1 | \psi \rangle|^2 &&\text{\small の確率で} && 1 \end{aligned}

絶対値の中の ⟨ϕi∣ψ⟩\langle \phi_i | \psi \rangle は確率振幅 (probability amplitude) と呼ばれる。

重ね合わせの原理

量子ビット ∣ψ⟩| \psi \rangle はベクトルで表記されているため、状態同士を足し合わせて、2つの状態が重なり合ったような状態を作ることができる。これを重ね合わせの原理 (superposition principle) という。

∣ψ0⟩+∣ψ1⟩=∣ψ2⟩| \psi_0 \rangle + | \psi_1 \rangle = | \psi_2 \rangle

重ね合わせて作られた状態 ∣ψ2⟩| \psi_2 \rangle を重ね合わせ状態 (superposition state) という。

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