手帳と試行

学んだことをアウトプットしていきます。 日々、ノートあるのみ。
2023-03-03
量子情報科学

ディラックの記法

量子情報科学で用いられるディラックの記法を概説する。

目次
読み方 1. | \psi \rangle は列ベクトル、\langle \psi | は行ベクトル 2. \langle \psi | \phi \rangle は内積 これからわかること 3. \sqrt{\langle \psi | \phi \rangle} はユークリッドノルム 4. \left( | \phi \rangle \langle \psi | \right) | \xi \rangle = \left( \langle \psi | \xi \rangle \right) | \phi \rangle

読み方

まず基本的な取り扱い方を確認する。

1. ∣ψ⟩| \psi \rangle は列ベクトル、⟨ψ∣\langle \psi | は行ベクトル

記号 ∣⟩| \rangle をケット (ket) といい、∣ψ⟩| \psi \rangle をケットベクトル (ket vector) という。ケットベクトルは列ベクトルを表す。

∣ψ⟩≔[1+i2]∈C2| \psi \rangle \coloneqq \left[\begin{darray}{} 1+i \\ \sqrt 2 \end{darray}\right] \in \mathbb C^2

このようなケットベクトル ∣ψ⟩| \psi \rangle に対し、記号の向きを反対にした ⟨ψ∣\langle \psi | はエルミート共役 ∣ψ⟩†| \psi \rangle^\dagger を表す。

⟨ψ∣≔[1−i2]∈C2\langle \psi | \coloneqq \left[\begin{darray}{} 1-i & \sqrt 2 \end{darray}\right] \in \mathbb C^2
2. ⟨ψ∣ϕ⟩\langle \psi | \phi \rangle は内積

2つのベクトル ∣ψ⟩| \psi \rangle と ∣ϕ⟩| \phi \rangle に対し、⟨ψ∣ϕ⟩\langle \psi | \phi \rangle は複素ユークリッド内積を表す。

∣ψ⟩≔[1−i2]∈C2,∣ϕ⟩≔[34i]∈C2\begin{aligned} | \psi \rangle &\coloneqq \left[\begin{darray}{} 1-i \\ \sqrt 2 \end{darray}\right] && \in \mathbb C^2, \\ | \phi \rangle &\coloneqq \left[\begin{darray}{} 3 \\ 4i \end{darray}\right] && \in \mathbb C^2 \\ \end{aligned}
  ⟹  ⟨ψ∣ϕ⟩=⟨ψ∣∣ϕ⟩=[1+i2][34i]=(1+i)×3+2×4i=3+(42+3)i\begin{aligned} \implies \quad \langle \psi | \phi \rangle &= \langle \psi | | \phi \rangle \\ &= \left[\begin{darray}{} 1+i & \sqrt 2 \end{darray}\right] \left[\begin{darray}{} \sqrt 3 \\ 4i \end{darray}\right] \\ &= (1 + i) \times \sqrt 3 + \sqrt 2 \times 4i \\ &= \sqrt 3 + (4 \sqrt 2 + \sqrt 3)i \end{aligned}

これからわかること

以上の読み方により、次のことがわかるようになる。

3. ⟨ψ∣ϕ⟩\sqrt{\langle \psi | \phi \rangle} はユークリッドノルム

行列 ∣ψ⟩| \psi \rangle に対して、自身のエルミート共役との内積は正の実数であり、その平方根はユークリッドノルムを表す。

∣ψ⟩≔[c1c2⋮cN]∈CN| \psi \rangle \coloneqq \left[\begin{darray}{} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_N \end{darray}\right] \in \mathbb C^N
  ⟹  {⟨ψ∣ψ⟩=∑i=1Nci∗ci⟨ψ∣ψ⟩=∑i=1Nci∗ci=∥ψ∥2\implies \left\lbrace\begin{aligned} \langle \psi | \psi \rangle &= \sum_{i=1}^N c_i^\ast c_i \\ \sqrt{\langle \psi | \psi \rangle} &= \sqrt{\sum_{i=1}^N c_i^\ast c_i} = \| \psi \|_2 \end{aligned}\right.
4. (∣ϕ⟩⟨ψ∣)∣ξ⟩=(⟨ψ∣ξ⟩)∣ϕ⟩\left( | \phi \rangle \langle \psi | \right) | \xi \rangle = \left( \langle \psi | \xi \rangle \right) | \phi \rangle

行ベクトル ⟨ψ∣\langle \psi | に左から列ベクトル ∣ϕ⟩| \phi \rangle を掛けた ∣ϕ⟩⟨ψ∣| \phi \rangle \langle \psi | は行列となる。

∣ϕ⟩≔[a1a2⋮aN]⟨ψ∣≔[b1b2⋯bN]\begin{aligned} | \phi \rangle &\coloneqq \left[\begin{darray}{} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_N \end{darray}\right] \\ \langle \psi | &\coloneqq \left[\begin{darray}{} b_1 & b_2 & \cdots & b_N \end{darray}\right] \\ \end{aligned}
  ⟹  ∣ϕ⟩⟨ψ∣=[a1a2⋮aN][b1b2⋯bN]=[a1b1a1b2⋯a1bNa2b1a2b2⋯a2bN⋮⋮⋱⋮aNb1aNb2⋯aNbN]\begin{aligned} \implies | \phi \rangle \langle \psi | &= \left[\begin{darray}{} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_N \end{darray}\right] \left[\begin{darray}{} b_1 & b_2 & \cdots & b_N \end{darray}\right] \\ &= \left[\begin{darray}{} a_1b_1 & a_1b_2 & \cdots & a_1b_N \\ a_2b_1 & a_2b_2 & \cdots & a_2b_N \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_Nb_1 & a_Nb_2 & \cdots & a_Nb_N \end{darray}\right] \\ \end{aligned}

この行列 ∣ϕ⟩⟨ψ∣| \phi \rangle \langle \psi | を列ベクトル ∣ξ⟩| \xi \rangle に作用させると、列ベクトルになる。

∣ξ⟩≔[c1c2⋮cN]\begin{aligned} | \xi \rangle &\coloneqq \left[\begin{darray}{} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_N \end{darray}\right] \\ \end{aligned}
  ⟹  (∣ϕ⟩⟨ψ∣)∣ξ⟩=[a1b1a1b2⋯a1bNa2b1a2b2⋯a2bN⋮⋮⋱⋮aNb1aNb2⋯aNbN][c1c2⋮cN]=[a1∑i=1Nbicia2∑i=1Nbici⋮aN∑i=1Nbici]\begin{aligned} \implies \left( | \phi \rangle \langle \psi | \right) | \xi \rangle &= \left[\begin{darray}{} a_1b_1 & a_1b_2 & \cdots & a_1b_N \\ a_2b_1 & a_2b_2 & \cdots & a_2b_N \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_Nb_1 & a_Nb_2 & \cdots & a_Nb_N \end{darray}\right] \left[\begin{darray}{} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_N \end{darray}\right] \\ &= \left[\begin{darray}{} a_1 \sum_{i=1}^N b_i c_i \\ a_2 \sum_{i=1}^N b_i c_i \\ \vdots \\ a_N \sum_{i=1}^N b_i c_i \\ \end{darray}\right] \\ \end{aligned}

行列の中で繰り返し生じる部分を抜き出し、さらに

∑i=1Nbici=⟨ψ∣ξ⟩,∣ϕ⟩=[a1a2⋮aN]\begin{aligned} \sum_{i=1}^N b_i c_i &= \langle \psi | \xi \rangle, \\ | \phi \rangle &= \left[\begin{darray}{} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_N \\ \end{darray}\right] \end{aligned}

を用いれば、次のように書ける。

[a1∑i=1Nbicia2∑i=1Nbici⋮aN∑i=1Nbici]=∑i=1Nbici[a1a2⋮aN]=⟨ψ∣ξ⟩∣ϕ⟩\begin{aligned} \left[\begin{darray}{} a_1 \sum_{i=1}^N b_i c_i \\ a_2 \sum_{i=1}^N b_i c_i \\ \vdots \\ a_N \sum_{i=1}^N b_i c_i \\ \end{darray}\right] &= \sum_{i=1}^N b_i c_i \left[\begin{darray}{} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_N \\ \end{darray}\right] = \langle \psi | \xi \rangle | \phi \rangle \end{aligned}

よって、次のことが確認できる。

∣ϕ⟩⟨ψ∣⏟matrix∣ξ⟩=⟨ψ∣ξ⟩⏟scalar∣ϕ⟩\underbrace{| \phi \rangle \langle \psi |}_{\text{matrix}} | \xi \rangle = \underbrace{\langle \psi | \xi \rangle}_{\text{scalar}} | \phi \rangle

この関係は、行列や内積の関係を考えるよりも、純粋に

∣ϕ⟩⟨ψ∣ ∣ξ⟩=∣ϕ⟩ ⟨ψ∣ξ⟩| \phi \rangle \langle \psi | ~ | \xi \rangle = | \phi \rangle ~ \langle \psi | \xi \rangle

というふうに変形ができると覚えておけばよい。

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